quarta-feira, 24 de março de 2010

Provando que 2 = 1

A matemática é uma ciência exata. E por isso sabemos que um sinal de igualdade separa, como sabemos, duas igualdades.

Mas a matemática nos oferece certos enigmas interessantes. Hoje vamos provar que 1 pode ser igual a 2.

Vamos ver.

a = b1

a2 = ab2

a2 – b2 = ab – b2 3

(a – b)(a + b) = b(a – b) 4

(a – b) (a + b) = b (a – b) 5

a + b = b6

b + b = b7

2b = b8

2 = 1

Abaixo, temos uma explicação passo a passo de como resolver esta demonstração.

  1. Primeiro igualamos duas incógnitas;
  2. A seguir, multiplicamos ambos os lados por a;
  3. Em seguida, subtraímos b2 de ambos os lados;
  4. Reescrevemos de outra maneira o passo anterior;
  5. Eliminamos o que existem de comum, em ambas às igualdades;
  6. Em seguida efetua-se a operação;
  7. Como, partimos do princípio de que a = b;
  8. Assim chegamos ao resultado, quando eliminamos o b de cada lado da igualdade.


 

Você pode não aceitar que não existe e que não vale, mas que pode ser provado, pode sim.

E ai, o que achou desta demonstração? É válida, em sua opinião?

15 comentários:

  1. Tá tão certa como: 2 e 2 são 4. hehe. Jonimar, isso só prova que a matemática não é uma ciência exata ou a conta está realmente errada. E ai? Qual é? Bjs Panela.

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  2. A matemática é uma ciência exata sim. E o exercício desenvolvido acima sofre alguns erros durante sua realização para chegar a esse resultado enigmático, mas pelo menos assim temos uma pérola legal.
    No entanto, a conta está errada, mas é uma demonstração bem interessante, não acha, minha Panela?
    Bjos. Te Amo!

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  3. Polliana Gomes03 abril, 2010 07:19

    panela??
    eu perdi esta história...conta ae..

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  4. Eu, Tu e Ele.... fomos comer no restaurante e no final a conta deu R$30,00.
    Fizemos o seguinte: cada um deu dez reais...
    Eu: R$ 10,00
    Tu: R$ 10,00
    Ele: R$ 10,00
    O garçom levou o dinheiro até o caixa e o dono do restaurante disse o seguinte:
    Esses
    três são clientes antigos do restaurante, então vou devolver R$5,00
    para eles! E entregou ao garçom cinco moedas de R$ 1,00.
    O garçom, muito esperto, fez o seguinte: pegou R$ 2,00 para ele e deu R$1,00 para cada um de nós. No final ficou assim:
    Eu: R$ 10,00 (-R$1,00 que foi devolvido) = Eu gastei R$9,00.
    Tu: R$ 10,00 -R$1,00 que foi devolvido) = Tu gastaste R$9,00.
    Ele:R$ 10,00 (-R$1,00 que foi devolvido) = Ele gastou R$9,00.
    Logo,
    se cada um de nós gastou R$ 9,00, o que nós três gastamos juntos,foi R$
    27,00. E se o garçom pegou R$2,00 para ele, temos:
    Nós: R$27,00
    Garçom: R$2,00
    TOTAL: R$29,00
    Pergunta-se:
    Onde foi parar o outro R$1,00?

    Isso prova que a matemátiva não é exata!!!

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    1. Simples: A soma está sendo feita com o sinal errado. O texto nos induz ao erro, como se tudo fosse positivo e somado, o que não é verdade:
      Nós (gastamos) R$27,00, logo o sinal é negativo (-27)
      Garçom (ganhou) R$2,00, logo o sinal é positivo (+2)
      Somando estes dois não teremos R$29,00, e sim -R$25,00.
      E onde foram parar estes R$25,00? Na mão do caixa.
      Resolvido!

      Caso não tenham entendido, vamos acompanhar o dinheiro e seus sinais desde o início:
      1- Eu + Tu + Ele têm juntos R$30,00 e pagam a conta - neste momento temos Eu Tu e Ele com -R$30,00 e garçom com +R$30,00;
      2- O Garçom deixa R$25,00 com o caixa e leva R$5,00 de volta, então temos:
      Eu tu e Ele com -R$30,00 e garçom com +R$5,00 e caixa com +R$25,00;
      O garçom devolve 1 real para cada cada um dos integrantes de Eu tu e ele (3), logo temos:
      *Eu tu e Ele com -R$30,00 +R$1,00 +R$1,00 +R$1,00 = -R$27,00;
      *Garçom com R$5,00 -R$1,00 -R$1,00 -R$1,00 = R$2,00;
      *Caixa com R$25,00.
      Somando tudo, fica: -27 + 2 + 25 = 0. O somatório dando zero mostra que o dinheiro apenas trocou de mãos, não tendo surgido ou desaparecido nada.

      Espero ter esclarecido - Allessandro

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  5. Prof. Onde esta a resposta da pergunta formulada logo acima?

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  6. Sabes que está esquação está errada, pois já no segundo passo a informação diz:
    A seguir, multiplicamos ambos os lados por a;
    a² = ab²

    mas na verdade vc multiplicou o segundo membro por A duas vezes, pois partindo do pre-suposto de que A=B
    então a equação deveria ficar ou AB ou então B²

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  7. Eu respondo a questão acima.
    Assim como você disse que cada um deu 10 reais, você disse que na verdade cada um deu 9, pois recebeu 1 real de volta.

    Pense que foram pagos 27, onde o dono do restalrante ficou com 25 e o garçom com 2, totalizando 27.

    Dos 30 reais entregues, cada um recebeu 1 real sem problemas, mas o valor dessa constante é 9 e não 10!

    É tão furada essa conta que ate eu que não faço exatas sei responder.

    Você não pode substituir o valor de uma constante no meio de uma operação!

    Tambem cuidado para não vir postando eniguimas matemáticos do livro "O homem que calculava - Malba Tahan" pois todos os enigimas tem uma explicação lógica!

    acpguedes - Forum-Invaders

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  8. O quinto passo está errado, pois um dos "(a - b)" está multiplicando "(a + b)" e o outro está multiplicando apenas "b", então não se pode cortar os 2.

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    1. Quanto a isso não há problema. É claro que dá pra dividir ambos os lados da equação por (a-b). O problema é que se a=b, então a-b=0 e não podemos dividir por zero.

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  9. Meus caros:
    No desenvolvimento da equação, onde se tenta provar que 2 = 1, temos na fase (correta) que (a+b).(a-b)=b(a-b). Porem no passo seguinte, porem para manter-se a "igualdade" , está se propondo a divisão dos membros da igualdade por (a-b), o que em álgebra é inadmissivel já que estamos dividindo por zero, com resultado infinito, "estourando" a equação, pois a = b ! Só isso !!!

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  10. Acho que ninguém prestou a atenção necessária. Quando se "eliminou" (a-b) dever-se-ia fazer a exigência de que a expressão fosse diferente de zero, uma vez que, na verdade, foi uma divisão por (a-b). Logo, como esta expressão resulta zero, a divisão NÃO pode ser feita, por isto que o resultado dá UM ABSURDO. E a matemática não tem nada de absurdo. Foi puro desconhecimento, ou proposital, que acho que foi a intenção do "autor". Outra coisa: cuidado coma colocação dos números 1, 2, 3, 4 etc. logo acima da letra "b", como estão parecem ser expoentes... CUIDADO.

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  11. velho já tô cansada de ver esse problema
    o erro está no passo 5
    se a=b entao a-b=0 então tudo que estiver sendo multiplicado por (a-b) é igual a zero
    outra coisa é que vc nao pode dividir o primeiro membro por (a-b) pois não se pode dividir por zero
    esse problema é mais velho que a minha vó kkkkkkkkkk mas é uma boa opção de diversão e prestar atenção nas coisas SIMPLES QUE PODEM PASSAR DESPERCEBIDAS!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

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  12. A lógica matemática é o que faz com que ela seja exata. Mas a lógica depende de um ponto de vista específico. Por exemplo, usar a lógica dos números reais no campo dos números complexos não torna o resultado exato; quer dizer, nem sempre o resultado será o mesmo.

    O que quero mesmo dizer com isso: imaginem a soma de dois números, 3 e 4. Da 7, certo? No ponto de vista dos números reais, se os dois possuem mesmo sinal, positivo, então sim. Digamos que um deles sofra uma angulação de 90 graus, então a soma dará 3 + 4i ou 4 + 3i, com módulo igual a 5. O que também é apenas uma manipulação de interpretação ("ahhh, de certo ponto de vista, 3 + 4 = 5"). Vendo por essa maneira, temos uma manipulação como uma falácia. O que nos leva a uma coisa: a matemática é uma lógica exata, sim. Indiscutivelmente. A questão do restaurante, o que foi alterado na falácia foi o ponto de vista. Veja, 30 reais, 5 de troco. No ponto de vista do restaurante, ele ficou com 25, e o garçom com 2. Isso porque nós demos 27 reais. No meu ponto de vista, nós demos 27 (9 X 3). Mas 2 foram ao garçom sem que chegasse ao restaurante. Somar mais dois, dizendo serem do garçom é a falácia.

    No caso apresentado, uma provável falácia está na linha 8. 2b = b. Sim, eu posso dizer que sim. Mas nesse caso, eu preciso isolar a incógnita b, deixando 2b - b = 0; então a verdade ali apresentada é possível se b = 0. Mas porque isso? Por que que em outro caso não seria verdade? Porque não podemos dividir por ZERO. Cortar os dois lados da expressão (a - b) é dividir zero por zero. Bem, ao estudarmos cálculo de limites, vemos não há como dividir zero por zero. Mais ao aproximarmos números, se os dois forem suficientemente próximos ao número zero, e quanto mais aproximarmos, o resultado da divisão não será EXATAMENTE esse valor, mas TENDERÁ a um valor X. Dessa forma, o limite de zero por zero pode ser zero, pode ser 2, pode ser infinito. Tudo depende da expressão.

    Qual o ponto de tudo isso?? A matemática é uma ciência exata? A que conhecemos, pelo menos, sim: é exata. Mas não é uma ciência. A matemática, assim como o português, é uma linguagem. Eu falo por matemática, eu me comunico desta forma. Computadores falam por linguagens matemáticas, que podem ser traduzidas. Tanto que ao não compreenderem algo, eles acusam erro de sintáxe. Físicos falam por linguagem matemática; a expressão pra saber se o gato está vivo ou morto é X ao quadrado + a = 0; se X = a, está vivo; se X = - a, está morto. Mas X vale tanto a quanto -a (só pra ilustrar em matemática fundamental a quântica do gato de schrodinger).

    E assim como no português, eu posso "provar" que a matemática não é exata por falácias. Mas são casos que, em algum ponto, uma de minhas premissas, por mais que possam condizer com a realidade em si, não condiz com a MINHA realidade.
    "Deus é amor, o amor é cego, Deus é cego, steve wonder é cego, steve wonder é Deus, steve wonder é negro, Deus é negro, eu sou negro, eu sou Deus, aí meu EU, estou cego" sofre do mesmo erro matemático. O erro não é da matemática, é de sua interpretação. Eu interpreto erroneamente, recebo uma informação errada, que talvez não seja errada, mas fora do contexto. Dessa maneira, o resultado passa por vários pontos de vista, cada um com sua lógica. O resultado final então não será exato, ou melhor, será um para cada ponto de vista.

    Quem nasceu primeiro: o ovo ou a galinha?
    Se você considerar o ovo um algo que NASCEU, devemos lembrar que a pergunta não fala especificamente do ovo da galinha. Quem VEIO primeiro? O ovo. Outros animais põem ovos. Mesmo no criacinismo, mesmo com a Bíblia, Deus criou os peixes antes das aves, e peixes põem ovos.
    Quem nasceu primeiro? O pinto nasce do ovo. O ovo não é algo que tenha nascido. Ele dará origem a um animal, e este processo chamamos de nascimento. Somente a galinha nasceu.

    O ovo não nasceu; o um real de 30 não sumiu; e definitivamente 2 não é igual a 1. Ao menos não como a humanidade, por convenção, decidiu que cada um seria.

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  13. oi, separa os indicadores de linha pelo menos com um bom espaço, pois esta parecendo potencia!

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