Que tal fazer de 2011 o “Ano Menos?”

Ricardo Kotscho - Balaio do Kotsho
Desde pequenos, somos ensinados a querer ter e ser sempre mais. Assim, em todos os finais de temporada, em nossas reflexões sobre o que passou e nas intenções para o ano novo, no balanço de perdas e ganhos, sempre fica faltando alguma coisa para fazer ou conquistar, e lamentar algo que ficou pelo caminho. Fazemos promessas para mudar de vida, olhando sempre para cima e para mais longe, buscando novos e cada vez mais difíceis desafios. Por que tem de ser assim por toda a vida, mesmo quando o tempo que nos resta é cada vez menor?
Do jeito que vamos indo, com tudo tendo que ser sempre mais e melhor, todos tendo que vender mais e consumir mais, a economia mundial crescendo sem parar, mesmo em tempos de crise, com cada vez mais carros, aviões, navios, fábricas e usinas poluindo o ambiente, shopping centers se multiplicando como cogumelos por toda parte, lojas, bares e restaurantes lotados, uma hora este nosso velho mundo vai explodir em todos os sentidos.
Como ninguém tem fôrças para mudar o mundo, muito menos para fazer ele parar, poderíamos pelo menos começar a pensar em mudanças possíveis na rotina de cada um de nós. Quem sabe, com o tempo, as coisas não começam a desacelerar e melhorar a chamada qualidade de vida?
Apenas oito anos atrás, o principal objetivo do presidente Lula que assumia o governo era combater a fome, garantindo a cada brasileiro pelos menos três pratos de comida por dia. A desnutrição de milhões de brasileiros ainda era o maior problema de saúde pública.
Nesta sexta-feira,  fiquei sabendo pelo noticiário que 50% da nossa população já está acima do peso e crescem assustadoramente os problemas de obesidade, incluindo o autor destas mal traçadas linhas, que mais uma vez está fazendo tratamento para largar o cigarro, e sofre os efeitos.
Parece o destino daquelas regiões que são assoladas ora pelas secas, ora pelas enchentes. Será que não pode haver um meio termo, um ponto de equilíbrio nas nossas vidas e nas nossas terras, ou este permanente querer mais não será a própria causa das tragédias naturais e humanas que afetam o mundo todo também cada vez mais?
Fiquei pensando em tudo isso num recente retiro espiritual do meu Grupo de Oração ao notar que algumas pessoas estavam falando demais, até mais rápido do que pensam, com opiniões formadas e definitivas sobre todos os assuntos espirituais ou terrenos, como se quisessem convencer os outros de que aquele era o único caminho.
Não só em retiros, que  deveriam ser redutos de silêncio e meditação, mas em quase todos os lugares aonde vou, tenho notado que as pessoas todas estão falando cada vez mais, cada vez mais alto, o tempo todo, sem dar tempo de pensar no que estão dizendo.
Na internet, do mesmo jeito, autores e leitores escrevem cada vez mais comentários sobre tudo que lhes vem à cabeça, repetindo sempre as mesmas certezas, transformando opiniões pessoais em dogmas, como se estivessem querendo criar uma seita de seguidores.
É impossível ler todas as mensagens que me mandam o dia inteiro, todo dia. Às vezes, nem dá tempo de abrir os e-mail para saber do que se trata. Desta forma, estaremos nos comunicando e fazendo entender mais ou menos?
A partir desta constatação, comecei a pensar para quantas coisas poderíamos nos propor menos em lugar de mais neste raiar de outro ano da nossa breve passagem pela terra _ quer dizer, inverter um pouco este jogo de perde e ganha que está ficando cada vez mais chato e perigoso.
Por exemplo: poderíamos começar nos propondo consumir menos, menos tudo. Porque muitas outras coisas estão relacionadas a esta febre de ter e ser mais: trabalhar mais, comprar mais, vender mais, viajar mais, comer mais, beber mais, competir mais, assumir mais compromissos, ganhar mais, poluir mais, querer mais, exigir mais de si mesmo, desmatar mais, buzinar mais, gritar mais, brigar mais, correr mais, jogar mais, blasfemar mais, se estressar mais e, assim, ter mais chance de ir parar num hospital do que chegar à felicidade.
Se não trocarmos todos estes mais por menos, uma hora acabaremos  consumindo a nós mesmos.
Pode parecer incoerência minha fazer esta proposta ao final de um ano estafante de trabalho e compromissos variados em diferentes áreas de atividade, às vésperas da viagem a um dos maiores templos do consumo do mundo. Eu sei, mas só o fato de me permitir tirar duas semanas de férias de verdade com a família já pode ser um bom sinal de mudança.
Espero que não me entendam errado, imaginando que sou contra o progresso da humanidade, um hippie gordo e careca meio fora de época, que está voltando agora de Woodstock. Não estou dando receita para ninguém. Esta é apenas minha intenção neste final de ano, resume o que penso e sinto neste momento, mas cada um é que sabe do seu sonho e da sua dor.
Também não virei adepto destas modas de vida alternativa, pregador da sustentabilidade em comunidades ecológicas, nem pretendo me tornar um vagabundo. Busco e proponho apenas um pouco mais de equilíbrio, aquela história de que menos pode ser mais, qualquer que seja a nossa condição de vida. É uma boa hora para pensarmos nisso. Afinal, não custa nada.
E os caros leitores do Balaio? O que estarão pensando e se propondo para 2011?
O grande barato deste trabalho em mão dupla na internet é exatamente poder saber o que os outros pensam e permitir que as ideias de um leitor possam ser úteis e servir de inspiração para outros balaieiros.
Muito grato a todos vocês por mais um ano de gratificante convívio. Divirtam-se. Até a volta.

IX Seminário Nacional de História da Matemática IX Seminário Nacional de História da Matemática

O IX Seminário Nacional de História da Matemática (SNHM) será realizado de 17 a 20 de abril de 2011, em Aracaju, Sergipe. O evento é uma iniciativa da Sociedade Brasileira de História da Matemática, da Universidade Federal de Sergipe e da Universida de São Paulo.

Abaixo o cartaz de divulgação.

A matemática e seus enigmas

Este é um teste que envolve matemática bem simples.

Eu vou conseguir descobrir o resultado final da soma.

Faça e veja como é verdade!

1 - Pense em um número de 1 a 9.

2 - Multiplique por 2.

3 - Some 10.

4 - Divida o resultado por 2.

5 - Subtraia esse resultado pelo número que você pensou no passo 1.

Deu 5.

Foi muito fácil adivinhar, não foi?

Educação: Brasil dá vexame agora em matemática e leitura

      Da France Presse, no Portal G1:

      Os finlandeses estão novamente entre os mais bem sucedidos nas provas aplicadas pela Organização de Cooperação e de Desenvolvimento Econômico (OCDE) em todo o mundo, inclusive no Brasil, voltadas para medir os conhecimentos de ciências, matemáticas e compreensão escrita dos jovens de 15 anos. Os brasileiros, no entanto, não se saíram nada bem nestas provas.

      A boa notícia é que os estudantes brasileiros melhoraram em matemática com relação à pesquisa anterior, mas ainda assim a situação é perigosa: estão na 4° pior colocação entre os 57 países analisados. Em compreensão escrita e em ciências, o Brasil não está em melhores condições: ocupa a oitava e a sexta piores colocações respectivamente. Nos dois casos, os brasileiros estão em posição comparável as de Qatar, Quirguistão, Azerbaijão e Colômbia.

       A terceira edição da pesquisa, já realizada em 2000 e em 2003, envolveu 400.000 jovens dos 57 países que, juntos, representam 90% da economia mundial. Entre os 30 países membros da OCDE, todos participantes deste estudo, a Finlândia ficou na primeira colocação nas provas de ciências e matemática e no segundo lugar no teste de compreensão escrita. Com este resultado, o país nórdico manteve a liderança já verificada em 2003. Em 2006, a Coréia do Sul (1° em compreensão escrita, 2° em matemática e 7° em ciências), o Canadá (2° em ciências, 3° em compreensão escrita e 5° em matemática) e a Austrália (5° em ciências, 6° em compreensão escrita e 9° em matemática) foram os melhores entre os 30 países da OCDE.

      Na outra ponta da lista, os membros da OCDE que obtiveram os piores desempenhos foram Estados Unidos, Grécia e México.

Curiosidade Matemática

Propriedade numérica curiosa: re-arranje os algarismo de um número inteiro da forma que você desejar.

A diferença entre o primeiro número e o novo número será sempre divisível por 9.

Veja como realizar. Primeiro escolhe-se o número (por exemplo: 71), depois rearranje esse número da sua escolha (o nosso exemplo fica: 17) e por último faça a diferença: 71 – 17 = 54.

Essa diferença (54) será sempre divisível por 9 (54 ÷ 9 = 6).

Veja outro exemplo:

Número escolhido            Algarismo rearranjado             Diferença

84.572                    45.278                39.294÷9 = 4.366

Soroban

Mais rápido que uma calculadora, o instrumento japonês que resolve cálculos matemáticos nasceu há mais de 2.500 anos. Ainda hoje, o soroban ajuda a melhorar a concentração e faz sucesso no arquipélago e entre os brasileiros de todas as idades.

À primeira vista, o objeto retangular, cheio de contas coloridas que correm nas hastes, mais parece um brinquedo. Na verdade, trata-se do soroban, um tradicional instrumento de cálculos matemáticos desenvolvido no Japão, mas que conquistou adeptos no mundo todo, incluindo o Brasil.

A história da utilização de instrumentos para calcular (chamados ábacos) começou há mais de 2.500 anos. Os primeiros ábacos eram constituídos de fios paralelos e contas deslizantes. De acordo com sua posição, representavam a quantidade a ser trabalhada. Entre os diversos tipos de ábaco existentes, está o soroban (o ábaco japonês), originário do chinês suan-pan, mas que chegou ao Japão através do livro Embrião do Soroban do professor Kambei Moori em 1662.

Capaz de efetuar operações matemáticas com números negativos, decimais, raiz quadrada e cúbica, o soroban ainda é muito utilizado. Existem campeonatos mundiais no Japão e torneios nacionais em diversos países, inclusive no Brasil.

Ainda que muito eficiente, rápido e prático, estudar o soroban não é fácil. A graduação do soroban começa no 15º grau e vai diminuindo até que o praticante alcance o dan. A partir daí, o grau passa a ser contado como 1º dan, 2º dan e assim sucessivamente. É possível continuar aumentando o número do dan infinitamente.

Apesar de parecer estressante, o soroban é utilizado para relaxamento. Além disso, desenvolve o cálculo mental. Nele, os sorobanistas devem imaginar o soroban e seus movimentos de modo a solucionar os exercícios. Com o desenvolvimento do cálculo mental, contas envolvendo mais de seis dígitos podem ser feitas sem o auxílio de qualquer aparelho de calcular.

 

Fonte: http://madeinjapan.uol.com.br/

A construção do conceito de número e o pré-soroban, MEC, 2006

Pense nisso...

"...E nunca considerem seu estudo como uma obrigação, mas sim como uma oportunidade invejável de aprender, sobre a influência libertadora da beleza no domínio do espírito, para seu prazer pessoal e para o proveito da comunidade à qual pertencerá o seu trabalho futuro." Albert Einstein

Você é capaz de somar os algarismos de 1 a 100 em poucos minutos?

Carl Friedrich Gauss (1777-1855) aos 10 anos de idade respondeu rapidamente ao seu professor através da identificação de que a soma era 50 pares de números, cada par somando 101, perfazendo um toral de 5.050. Surpreendendo-o assim pela sua grande habilidade na matemática. Em 1792, seu talento foi reconhecido pelo duque de Braunschweig, que lhe garantiu recursos para prosseguir o estudo de matemática.

Gauss criou a geometria diferencial, e fez novas descobertas como a Lei da Reciprocidade Quadrática, que introduz o conceito de congruência e o Teorema Fundamental da Álgebra. Em 1801, publicou Disquisitiones Arithmeticae, seu tratado sobre a Teoria dos Números. No mesmo ano, calculou a órbita do asteróide Ceres. Com base em uma teoria que desenvolveu, previu corretamente onde e quando o Ceres, um novo "planeta de pequenas dimensões", deveria reaparecer.

Morreu em 23 de fevereiro de 1855, sendo considerado o "Príncipe da Matemática".

As letras na matemática

Se matemática são números porque usamos tantas letras nos cálculos? Essa é uma pergunta que ouço constantemente nas aulas.

Uma maneira bem simples de explica é que quando se desenvolve uma fórmula matemática ela deve ser válida para todo e qualquer número. E caso você queira demonstrar que a fórmula encontrada é verdadeira para todo e qualquer número não conseguirá mensurar, pois os números são infinitos. Aí é que entra as letras, se atribuirmos as mesmas propriedades dos números às letras, podemos generalizar a demonstração.

Assim, qualquer que seja o número, ele estará contemplado na fórmula.

O matemático alemão Michel Stifel e os italianos Girolamo Cardano e Rafaelle Bombelli foram os primeiros a representar os números por meio de letras, isso a partir do século XVI.

Porém, o uso sistemático das letras para indicar números e expressar de forma mais sintetizada a resolução de um problema se deve ao matemático e astrônomo francês François Viète (1540-1603).

O Google na Matemática

As figuras abaixo é uma homenagem do Google a alguns fatos matemáticos, como o dia do π, o dia da Matemática e os conjuntos de Julia.
 
 1. Conjuntos de Julia relacionados a teoria de Fractais;

2. O dia do π comemorado em 14 de março, (pois π = 3, 14159 . . .) tem o ápice das homenagens a 1 : 59 h da tarde;

3. Logaritmo na base (Dia da Matemática - 26 de abril).

Você Sabia

A letra grega sigma, representante matemática de somatória (∑) já foi usado na história política brasileira como símbolo da Ação Integralista Brasileira (AIB), como forma de incentivar um forte sentimento de comunhão e amor à pátria.

A Matemática no Enem

O Exame Nacional do Ensino Médio (Enem) dá para Matemática uma importância extremamente exagerada. Depois do conhecimento da língua portuguesa, que é necessário para ler toda a prova, Matemática é o que o Enem mais cobra em seu novo modelo de exame.

Para começar, Matemática e suas Tecnologias é uma prova inteira, com 45 questões, o que representa um quarto da prova objetiva do Enem. Nos vestibulares convencionais, que são conservadores, a matéria costuma ser cobrada em aproximadamente um oitavo da prova.

Além disto, a linguagem Matemática vai aparecer moderadamente na prova de Humanas e deliberadamente na prova de Natureza, na forma de gráficos e tabelas, cálculo de grandezas, regra de três, porcentagem, estatística, probabilidade, entre outras.

Podemos dizer que, desde o ano passado, temas como Meio ambiente, Cidadania e Valorização da Diversidade, que formavam a base da prova, perderam espaço, proporcionalmente, para a Matemática. Estes temas continuam importantes e centrais no Enem, mas nenhum deles vai superar o número de questões de Matemática.

Apesar de o Enem ter como um dos principais objetivos reformar o Ensino Médio, fazendo com que as escolas abandonem a educação conteudista e passem a fazer com que seus alunos compreendam fenômenos, resolvam problemas e elaborem propostas éticas de intervenção na sociedade, o nome desta prova não ajuda na reforma.

Para facilitar que educadores e alunos entendam uma nova forma de educação, mudam-se os nomes que damos às matrizes de conteúdos. No lugar de Biologia, Física e Química, chamamos a área de Natureza. No lugar de História, Geografia, Filosofia e Sociologia, chamamos de Humanas. No lugar de Português, Literatura, Educação Física, Artes e Línguas, chamamos de Linguagens e Códigos.

A ideia de mudar os nomes atende à necessidade de mudarmos os conceitos que temos da educação. Para ficar mais fácil que todos entendam que não é o antigo ensino do conteúdo dos livros didáticos e dos sistemas de ensino que representam Educação, evita-se dar o nome, para as provas do Enem das conhecidas matérias. Tudo perfeito, até resolverem chamar esta prova de matemática.

Quando o professor de matemática vê a prova com este nome, ele acredita que precisa continuar ensinando a mesma coisa em sala de aula. Os demais professores seguem o raciocínio. Se é preciso ensinar matemática, eles também precisam continuar ensinando seus conteúdos.

Se é verdade que Matemática tem questões demais no Enem, se é verdade que o nome da prova não é dos melhores, também é verdade que o que é cobrado está muito mais ligado ao raciocínio lógico e a alguns conteúdos mínimos e fáceis da área. O aluno não será surpreendido com fórmulas e exercícios aterrorizadores, que é a imagem que, em geral, temos da matéria. Os conteúdos mínimos cobrados nesta prova são os mais claros nas matrizes de competências e habilidades do Enem, fazendo dela a mais honesta das quatro provas.

Vamos, então, ver o que o Enem irá cobrar na prova de matemática. As 45 questões estarão divididas em sete competências, que o MEC considera que devem ser desenvolvidas no Ensino Médio.

A Matemática na Vida dos Povos - A primeira coisa que Enem deseja é que o aluno compreenda que os códigos da Matemática, como os números e as operações, são construções humanas, arbitrárias. Em determinado momento, a vida em sociedade exigiu que se contasse, se dividisse, multiplicasse, entre outras coisas. Nas questões desta competência, a única coisa que precisa é contextualizar a linguagem matemática com as questões da vida cotidiana.

As Formas da Vida, Geometria da Realidade - Aqui o Enem irá cobrar conteúdos básicos de geometria. Calculo de área e volume das principais figuras geométricas, conceito de ângulo e teorema de Pitágoras precisam ser estudados. As questões devem estar contextualizadas e o Enem irá verificar se o aluno consegue utilizar seus conhecimentos de geometria para intervir em sua realidade. Metro cúbico costuma ser o conteúdo cobrado em que os alunos mais erram as respostas.

Medidas da Realidade - Nesta competência aparece o Sistema Internacional de Medidas. Será cobrado que o educando consiga identificar, interpretar e utilizar as unidades de medida mais conhecidas, como o metro, quilograma, hora, graus Celsius e Kelvin e o conceito de ampère. Será preciso interpretar e comparar escalas que envolvam estas e outras medidas.
Variação de Grandeza, Porcentagem e Juros - Será avaliada aqui a capacidade do aluno de identificar diferentes formas de variação de grandeza, seja a proporcional ou a inversamente proporcional. Aparecerá também a regra de três e cálculos que envolvam conhecimento de porcentagem e juros – simples e compostos.

Álgebra - Quando representamos problemas da vida cotidiana em uma equação matemática e não sabemos o valor de algum número, representamos este número por um símbolo, geralmente uma letra. Isto é Álgebra. Nesta competência o aluno deverá conseguir representar, gráfica e algebricamente, fenômenos da matemática. Equações algébricas, gráficos cartesianos, conhecimentos de álgebra e conceitos de geometria são fundamentais para o bom desempenho nas questões dessa competência. As equações não devem aparecer diretamente. O Enem irá apresentar alguma situação problema em que o candidato precisará utilizar os conceitos citados para apresentar a resposta.

Gráficos e Tabelas - Essa competência cobra que o examinado interprete informações científicas e sociais a partir da leitura de gráficos e tabelas. É necessário aqui que se consiga “ler” gráficos e tabelas, afinal o Enem os considera como uma das principais formas de linguagem matemática. O que pode aparecer, e vai além da simples interpretação, é a necessidade de previsão de tendência, extrapolação e interpolação dos dados contidos em gráficos e tabelas.

Estatística - Nesta competência serão cobradas noções de estatística básica e probabilidade, apresentadas em questões contextualizadas, no formato de pesquisas, estudos e jogos comuns à vida cotidiana.

Mateus Prado

Educador analisa o Enem, os vestibulares e o ensino brasileiro

 

X Semana de Matemática ocorre no Campus de Ji-Paraná

O Campus de Ji-Paraná da Universidade Federal de Rondônia (UNIR) realiza na próxima semana a Semana de Exatas 2010. Integram o evento a VII Semana de Física e a X Semana de Matemática, que ocorrem simultaneamente.

O público alvo são alunos de graduação, professores e alunos da educação básica.

 Para mais informações faça abaixo o download da programação dos eventos no endereço : http://www.semat.unir.br/index.php

Pi (π) pode ter até 5 milhões de decimais

Japonês afirma ter recalculado a constante matemática PI e chegado a 5 trilhões de decimais – quase o dobro do recorde anterior.

A façanha foi feita por Shigeru Kondo em parceria com o americano Alexander Yee, que desenvolveu o programa de computador necessário para os cálculos

Segundo informações da AFP, o número ainda está sujeito a verificações para que se possa constatar se o recorde do francês Fabrice Bellard foi batido. Em janeiro deste ano, ele calculou o PI com 2,7 trilhões de dígitos – um número tão grande que ocupa mais de um terabyte de espaço para ser armazenado e levaria 49 mil anos para ser falado em voz alta.

O PI é a mais antiga constante matemática conhecida, já estudada na Grécia Antiga. Ele representa a razão entre a circunferência de qualquer círculo e seu diâmetro. Na escola, usamos seu valor aproximado para cálculos simples (3,14), porém o número é usado em incontáveis situações – da engenharia à ciência da computação.

Antes do francês Bellard, outro japonês havia estabelecido o recorde, em agosto de 2009. Utilizando um supercomputador, um cientista da Universidade de Tsubaka fez os cálculos em apenas 29 horas.

Acha que sabe tudo sobre o Google? Olha isso: o Google virou uma calculadora

Não é novidade para ninguém que dá para encontrar quase tudo no buscador mais popular do mundo. Mas nem todos conhecem recursos que o Google oferece em sua própria interface de pesquisa, como operações matemáticas e conversão de unidades. Veja abaixo alguns deles, mas lembre-se de não usar aspas em nenhuma dessas buscas.

Operações matemáticas

O Google é capaz de resolver desde operações matemáticas simples, como adição e subtração, até cálculos mais complicados, como logaritmos, raiz quadra e potenciação.

Existem diferentes formas de fazer a mesma conta. Vale tanto "dois mais dois" quanto "2 + 2" ou "2 mais 2". Outros exemplos: "raiz quadrada de 256", "200 menos 74", "oito vezes nove", "900 dividido por 15", "32 ao cubo" "logaritmo 20", "4 elevado a 3" e "5!" (fatorial).

Conversão de unidades

É possível fazer diversos tipos de conversão de unidades. Eis alguns exemplos: "14 metros em pés", "870 milhas em quilômetros", "27,4 libras em quilogramas", "29 graus Celsius em Fahrenheit".

Vale a pena conferir e aproveitar mais esta ferramenta matemática.

Fonte: http://www.google.com.br/

Conjectura de Goldbach, o que é?

A conjectura de Goldbach afirma que todo número par maior que 2 pode ser escrito como a soma de primos.

Veja alguns exemplos:

4 = 2 + 2        48 = 41 + 7        12 = 5 + 7        100 = 47 + 53

A conjectura de Goldbach, proposta pelo matemático prussiano Christian Goldbach em 1742, em uma carta para Leonhard Euler. Na carta, Goldbach propôs a seguinte conjectura: "todo inteiro maior que 2 pode ser escrito como uma soma de 3 números primos" (e ele incluía 1 como um número primo).

 

(carta de Goldbach à Euller. É possível observar que ele escrve 6 como sendo  1 +5).

Esta conjectura ainda não foi totalmente provada. Com a ajuda da tecnologia computacional, já verificou a veracidade da conjectura para números da ordem 10 elevado a 14.

No entanto, a efetiva demonstração matemática ainda não ocorreu.

Amor no mínimo sem limite

Agora que já te dei um descanso
Posso voltar a lhe escrever
Versos simples, palavras doces
Pra você não me esquecer

Sei que voas ao infinito
Seus sonhos não tocam o meu chão
Como uma águia observa de longe
A presa do teu coração

Longe estão teus horizontes
Muito além do que posso calcular
Em palavras estou tão perto
Quase posso te tocar

Em paralela observo a chuva
Deslizar pela janela
O coração voa em silêncio
Encontrar a minha bela

Linda por natureza
No limite da perfeição
Quisera eu achar palavras
Pra tocar teu coração

Deves me achar um louco
No mínimo...um sonhador
Um poeta matemático
Um coração com muito amor

Não embarques no meu sonho
Ouça apenas a minha voz
Nessa equação da vida
Deixa que eu sonho por nós

O arco íris cobre a terra
Numa parábola de beleza
No mundo da fantasia
Fiz de ti minha princesa.

José L. Bonfim

Você sabia?

Números perfeitos são aqueles iguais à soma de todos os seus divisores próprios. Por exemplo, os divisores próprios de 6 são: 1, 2 e 3. Fazendo a soma desses divisores, temos 1 + 2 + 3 = 6.

Por isso, 6 é um número perfeito. Outros exemplos de números perfeitos são 28 e 496.

Até agora, não se encontrou um número ímpar que seja perfeito.

Tangram

O tangram é um quebra-cabeça chinês formado por sete peças. Surgiu há mais de 2000 anos e seu nome original, "Tchi Tchiao Pan", significa "Sete Peças da Sabedoria".

Segundo a lenda, seu surgimento ocorreu de maneira casual, quando um filósofo chinês derrubou um ladrilho quadrado, quebrando-o em sete partes. Ao tentar montá-lo novamente, percebeu que com os 7 pedaços era possível formar não somente o quadrado original, mas também diversas outras figuras, como por exemplo, um retângulo.

Com as 7 peças do tangram podemos criar e montar milhares de figuras de animais, plantas, pessoas, letras, números, figuras geométricas etc.

Modulo, origem do símbolo

O nome módulo - derivado do latim modulus e que significa medida, comprimento (valor necessariamente positivo), foi usado pela primeira vez pelo francês Augustin Cauchy no seu livro Exercices de Mathèmatiques, pág. 47, 1829.

A representação das duas barrinhas foi feita em 1841 por Karl Weierstrass, na revista alemã Mathematische Werke, vol. I, pág. 67.

 

Que, no entanto, criou muitos problemas na época, pois era comum ser confundido com determinantes criados no mesmo ano por Arthur Cayley e publicadas no Cambridge Math. Journal, vol. II, pág. 268. Devido à reputação dos nomes Cauchy, Weierstrass e Cayley, até hoje empregamos a mesma notação para representar o módulo e o determinante.

Curiosidades da Sequência Fibonacci

Sequência de Fibonacci: preste atenção na sequência 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...

Ela é formada segundo certa regra. Consegue descobrir qual é?

Essa sequência aparece com freqüência na natureza. Veja alguns exemplos:

Número de sementes de uma maçã, número de pétalas de uma margarida, número de dedos de mão.

Observando a natureza, certamente você vai encontrar mais exemplos.

A história do ensino da matemática na sala de aula

A aplicação da matemática na sala de aula aconteceu somente depois da Revolução Industrial (final do século XVIII), pois com ela a administração e os sistemas bancários e de produção estavam exigindo mais das pessoas. Mas será que essa matemática ensinada nas escolas da época era adequada para a idade dos alunos?

O estudo da matemática nessa época era baseado no raciocínio dedutivo do grego Euclides (séc. III a.C.) que, com certeza, utilizava linguagens inadequadas para iniciar a disciplina na educação básica.

Com o tempo, após as Guerras Mundiais, mais crianças passaram a ter acesso à escola e a educação matemática continuava seguindo os métodos tradicionais de ensino, assim não poderia ter como resultado outra coisa a não ser um grande número de reprovação e aversão à disciplina, pois o ensino da matemática tradicional não era aplicado à realidade do aluno.

No século XX as aulas tradicionais persistiram e com ela os problemas. Após a década de 30 e com a Guerra Fria os avanços tecnológicos fizeram com que os nortes-americanos interessassem na formação de novos cientistas nas escolas, para isso formularam um novo currículo para a matemática, que foi nomeada como Matemática Moderna e que não foi seguida adiante por falta de didática, não era viável o seu estudo para os alunos do ensino fundamental.

Os transtornos causados pelo ensino tradicional da matemática atingiram tal proporção que foi necessário que estudiosos da área iniciassem um estudo, na década de 70, sobre Educação Matemática que atingiu os matemáticos do mundo inteiro. Estudaram soluções e técnicas de como aplicar métodos diferenciados de avaliação, fazendo relação com a vida do aluno, relacionando a matemática com a psicopedagogia.

Esse movimento atingiu o Brasil com o surgimento, em 1997, do Parâmetro Curricular Nacional (PCN). Os participantes do movimento da Educação Matemática acreditam que esse documento contém informações necessárias para um excelente ensino da matemática, contudo, alguns matemáticos não concordam com tal afirmação.

Podemos concluir que o problema do mau aprendizado da matemática não é só uma responsabilidade dos profissionais e alunos de hoje e sim um problema histórico, pois começou errado e a resistência dos novos professores e alunos à mudança é muito grande.

Um número primo enigmático

O número primo 73939133 tem uma propriedade muito estranha. Se você remover os dígitos do final, os números obtidos também são primos. Observe:

73939133 é um número primo

7393913 é um número primo

739391 é um número primo

73939 é um número primo

7393 é um número primo

739 é um número primo

73 é um número primo

7 é um número primo.

Você sabia?

Z é a inicial da palavra Zahl, que siguinifica número em alemão.

Z é também a primeira letra do sobrenome do matemático alemão Ernest Zermelo (1871-1955), que se dedicou ao estudo dos números inteiros.

Z é o símbolo dos números inteiros.

Fonte: Tudo é matemática. Luiz Roberto Dante. São Paulo, Ática, 2009.

Mágica com o calendário

Quer aprender uma mágica interessante. Bom para aquelas reunião de família no final de semana. Vamos lá?

Peça a uma pessoa que, em um mês qualquer do calendário, ela delimite um "quadrado" 3 por 3, contendo 9 dias quaisquer.

Veja o exemplo de uma escolha no calendário abaixo para o mês agosto de 2005.

Agosto 2005
Dom	Seg		Ter		Qua		Qui	Sex	Sab
	1		2		3		4	5	6
7	8		9		10		11	12	13
14	15		16		17		18	19	20
21	22		23		24		25	26	27
28	29		30		31

Depois, peça que ela informe qual é a menor data do quadrado, e diga que com apenas essa data você irá descobrir a soma de todas as datas escolhidas. Para isso, você deve somar o valor da menor data (no caso, 10) com 8 e multiplicar o resultado por 9.

Ou seja, (10 + 8) x 9 = 18 x 9 = 162

Que é a soma de : 10 + 11 + 12 + 17 + 18 + 19 + 24 + 25 + 26 = 162.

Essa brincadeira vale para qualquer mês de qualquer ano.

E aí gostou?

Dica de Software

Olá,

A pedidos, hoje vou postar mais uma dica de um software muito interessante para o ensino de matemática.

O software é o Graph, que realizar representações gráficas de todos os tipos de funções (1º grau, 2º grau, exponencial entre outras).

O programa gera gráficos de jeito fácil e rápido num sistema coordenado (Plano Cartesiano), ideal para o professor exemplificar os gráficos mais complicados de fazer no quadro, por exemplo.

A interface do aplicativo é muito simples e disponibiliza botões para realizar operações básicas com apenas um clique.

Você pode configurar o visual e determinar cores e estilo de linha para conseguir as melhores condições de visualização. Aplique sombreados e séries de pontos para diferenciar cada um dos gráficos criados e as áreas de cada um. Também é possível fazer alguns cálculos matemáticos sobre as funções.

Para instalar no seu computador, clique aqui ou aqui.

Bons estudos.

Qual o número total de livros publicados na história moderna?

Quantos livros já foram publicados na história moderna? Segundo cálculos do Google, o número seria quase 130 milhões de livros, para ser mais exato 129.864.880.

O gigante das buscas estimou o dado justamente para saber quantos livros precisam escanear a fim de tornar o Google Books a maior e mais completa biblioteca online.

Para chegar ao número, o Google usou definições de livros de diferentes órgãos, como o do ISBN (International Standard Book Numbers),  da Biblioteca do Congresso Americano e do site de buscas de livros WorldCat.

O número inicial estimado foi de 210 milhões. O primeiro passo do Google foi remover esboços, gravações de áudio, mapas, vídeos com ISBNs, entre outros. Dessa forma, o número caiu para 146 milhões. Na sequência, a empresa removeu 16 milhões de documentos governamentais, chegando aos 129 milhões.

Depois de filtrar os dados de registros de livros no mundo todo, o Google finalmente chegou ao total de obras existentes.

A origem dos números irracionais

Por volta do século VI a.C., na Grécia, um pensador chamado Pitágoras formou uma sociedade secreta e mística. Os membros dessa sociedade – chamados pitagóricos – dedicavam-se ao estudo dos números por acreditarem que Deus, quando criou o mundo, havia seguido padrões numéricos: a harmonia do Universo, o movimento dos planetas, a vida animal e a vegetal, o som, a luz, enfim, todas as coisas podiam ser explicadas por meio de números.

Os pitagóricos conheciam números inteiros e frações; estas, apesar de não serem considerados, representavam comparações entre duas grandezas de mesma espécie.

Com a descoberta da relação "Em todo e qualquer triângulo retângulo a área do quadrado construído sobre o seu maior lado é igual à soma das áreas dos quadrados construídos sobre os outros dois lados", os pitagóricos tentaram escrever a razão entre a medida d da diagonal e a medida l do lado do quadrado, mas verificaram que não existia número racional que expressasse essa razão, d/l , pois as medidas d e l nunca podiam ser ambas expressas por números inteiros.

Essa impossibilidade levou a criação dos números irracionais, que não são inteiros nem racionais, pois não podem ser escritos como fração nem como decimal exato ou periódico.

O numero irracional mais famoso é o pi (π), que já estudamos aqui.

O profissional das ciências atuariais

Na hora de elaborar planos de seguro, de saúde, de previdência complementar e títulos de capitalização, uma das atividades do atuário ou profissional de ciências atuariais é analisar os riscos envolvidos nas operações, o que depende de conhecimentos aprofundados sobre conceitos de probabilidade.

No caso de um seguro de automóvel, por exemplo: ao avaliar os valores a serem cobrados do segurado e pagos em caso de acidente ou roubo, o atuário tem de calcular as probabilidades de uma colisão, de o motorista machucar alguém ou a si mesmo e de o carro ser furtado, dentro do período de cobertura da apólice.

Ele deve sistematizar as estimativas disponíveis sobre batidas, roubos, ferimentos e mortes no trânsito. Só depois de calcular e tabular tudo isso é possível definir o prêmio de cada apólice e o valor das mensalidades com que o segurado deve arcar.

O atuário é o responsável, ainda, por estimar as reservas financeiras que a empresa seguradora deve manter de modo a garantir o pagamento dos benefícios e o cumprimento dos compromissos contratados.

Humor Matemático

A mentira que salva!

Recentemente recebi uma mensagem do leitor Daniel Coelho, em que lembra me lembra uma pequena história que é narrada no clássico Don Quixote de La Mancha escrito por Miguel de Cervantes, no século XVII, que mostra as conseqüências que podem surgir a partir de um paradoxo interessante:

Conta à lenda que havia uma cidade em que todo o viajante que a cruzasse era obrigado a proferir um enunciado: se o enunciado fosse verdadeiro o viajante seria enforcado, se o enunciado fosse falso o viajante seria esfaqueado. É claro que durante anos ninguém conseguiu sair vivo da cidade até que um dia prenderam um aldeão que proferiu o seguinte enunciado: "serei esfaqueado".

Ora, se o que ele afirma é verdadeiro então ele será enforcado, mas neste caso, o enunciado proferido por ele era falso e ele deveria ter sido esfaqueado. Se, por outro lado, o enunciado é falso, ele deve ser esfaqueado mas neste caso ele havia dito a verdade e, portanto, deveria ter sido enforcado.

Viu, a lógica parece não ter lógica, mas tem lá sua lógica! Hehehe.

Uma idéia de Gênio

Uma vara, duas sombras e uma idéia genial: triângulos semelhantes!

Foi assim, conta a lenda que Tales de Mileto (624 – 545 a.C) conseguiu descobrir a altura das pirâmides do Egito.

Tales estava viajando pelo Egito. O faraó já conhecia sua fama. Ouvira dizer que ele era capaz de uma incrível façanha: podia calcular a altura de qualquer construção, por maior que fosse, sem precisar subir nela.

Por ordem do monarca, alguns matemáticos egípcios foram ao encontro do visitante e pediram-lhe que calculasse a altura da Grande Pirâmide de Quéops. Tales ouviu-os com atenção e se dispôs a atendê-los imediatamente.

Já no deserto, próximo à pirâmide, o sábio fincou perpendicularmente ao chão uma vara. Observando a posição da sombra, Tales deitou a vara no chão, a partir do ponto em que foi fincada, marcando na areia seu comprimento.

Depois colocou a vara na posição original.

Ficaram todos ali, observando a sombra que a vara projetava. Num determinado momento, o compimento da sobra ficou exatamente igual ao comprimento da vara.

Tales disse então aos egípcios:

- Vão depressa até a pirâmide, meçam o comprimento da sua sombra e acrescentem a ele a metade do comprimento do lado da base. A soma é a altura da pirâmide.

Curiosidades dos Números Primos

Os números primos tem algumas propriedades muito curiosas e interessantes. A seguir, vejam algumas delas:

• 2 é o único primo par;
  
• Não há número primo algum que termine em 5, exceto o próprio 5;
  
• Todos os números primos diferentes de 2, 3, 5, 7 devem terminar em um dos seguintes algarismos: 1, 3, 7 ou 9;
  
• Existem mais números primos entre 1 e 100 do que entre 101 e 200;
  
• O produto de dois números primos não pode ser um quadrado perfeito;
  
• Números primos gêmeos são números primos cuja diferença é 2, tais como 17 e 19, 41 e 43 ;
  
• Quando um número primo diferente de 2 ou 3 é aumentado de 1 unidade, o resultado é sempre divisível por 6.
  

E você, tem mais alguma curiosidade para acrescentar?

Dica de Software

Neste último final de semana, participei da primeira aula do curso de especialização lato sensu em Softwares Educacionais no Ensino de Matemática, realizado no município de Ariquemes. É uma pós-graduação visando a capacitação dos profissionais das áreas de ciências exatas para o conhecimento e utilização das novas tecnologias que poderá ser aplicado no ensino de matemática.

E, nesta aula iniciamos nossos trabalhos com o software Epi Info, cujo ainda não conhecia, mas revelou ser de muita utilidade e praticidade.

O Epi Info é um programa integrado desenvolvido para o uso geral. Reúne aplicações de banco de dados, análise estatística, geração de tabelas e gráficos e possibilita ainda algumas tarefas de programação.

Para baixar e conhecer esta nova ferramenta é só clicar aqui e realizar o download do arquivo. Não se esqueça de baixar a extensão para que fique na língua portuguesa.

Você Sabia?

Você sabia que, somando 1 ao produto de quatro números consecutivos, o resultado será sempre um quadrado perfeito?

Veja os exemplos:

2*3*4*5 + 1 = 11²             

1*2*3*4 + 1 = 5²

7*8*9*10 + 1 = 71²

Bem interessante, não acha?

Sensação térmica

Sensação térmica é um fenômeno que resulta da conjugação do vento com o frio. 
Considere, por exemplo, que os termômetros meteorológicos estejam registrando uma temperatura (T) de 10 ºC. 
Se a velocidade do vento (v) for de 7 km/h, a sensação térmica (ST), ou seja, a temperatura que o nosso corpo "sente", será de 9 ºC; com ventos a 40 km/h, a sensação térmica será de -1 ºC; se estiver ventando a 79 km/h, a sensação térmica será de -4 ºC.

Problemas matemáticos

Um jumento e uma égua caminhavam juntos carregando cada um pesados sacos de trigo. Como a carga era muito pesada, a égua gemia sob o grande peso.

- De que te queixas? - disse o jumento. Se me desses um de teus sacos de trigo, minha carga seria  dobro da  tua; e se te desse um dos meus, tua carga ficaria igual à minha.

Sendo assim, digam-me, sábios matemáticos, quantos sacos de trigo o jumento carregava e quantos a égua carregava?

A matemática do pênalti

Diz o chavão do futebol que a cobrança de cinco tiros é loteria – não é, demonstram os cientistas. Assistindo ao jogo do Paraguai x Espanha, pelas semifinais da Copa do Mundo de 2010, busquei este poste que nos fala das possibilidades da cobrança de um pênalti.

Até 1970, as partidas de futebol empatadas nos noventa minutos regulamentares e nos trinta da prorrogação eram decididas na sorte, com uma moeda jogada para o alto. Foi o alemão Karl Wald, hoje com 94 anos, quem propôs a decisão por pênaltis. Apenas em 1982 ela começou a ser usada em Copas do Mundo. Desde então, vinte e dois jogos (os dois últimos já nesta copa) foram resolvidos com tiros diretos – entre eles, duas finais, a de 1994 (Brasil 3 x 2 Itália, com o célebre chute de Roberto Baggio que quase saiu fora do Rose Bowl, em Los Angeles) e a de 2006 (Itália 5 x 3 França, sem Zinedine Zidane, expulso depois da cabeçada em Materazzi, em Berlim). O Brasil – além da vitória nos Estados Unidos – disputou dois outros jogos eliminatórios pelo tiro da marca de 11 metros: as quartas de final de 1986, contra a França (perdeu), e a semifinal de 1998, contra a Holanda (ganhou).

A frequência e a dramaticidade das decisões por pênaltis as transformaram em objeto de estudo de cientistas, numa tentativa de descobrir quais são as chances de acerto e de erro. Pesquisadores da Universidade Ben-Gurion, de Israel, analisaram 286 tiros diretos dos principais torneios de futebol do mundo – em 80% das vezes, a bola foi à rede. Em 93% dos chutes, os goleiros escolheram saltar para a direita ou para a esquerda. O estudo demonstra, contudo, que a postura ideal do camisa 1 é manter-se no meio, parado (veja o quadro abaixo). Poucos fazem isso. Trabalham com a intuição, por serem obrigados a reagir muito rapidamente.

Some-se, portanto, o treinamento com velocidade e sorte e tem-se uma possibilidade real de defesa. Outro estudo, este da Universidade John Moores, de Liverpool, na Inglaterra, demonstra que a leitura do movimento de corpo dos batedores ajuda os goleiros na defesa de cobranças. A conclusão: se os quadris de quem bate estiverem bem de frente para o goleiro, um atacante destro (a maioria) tenderá a chutar em direção ao lado direito do goleiro; se os quadris estiverem um pouco abertos, de lado, o chute tenderá a ser do lado esquerdo. No papel, é fascinante. No gramado, menos.

        Agora se o batedor mudar tudo intencionalmente?. Ah, mas essa é a graça do futebol, sobretudo agora que os cartolas proibiram a paradinha, recurso que deixava os goleiros ainda menores debaixo da armação de 2,44 metros de altura por 7,32 de comprimento.

A matemática da longevidade

Pesquisando sobre as curiosidades matemáticas na vida do ser humano, encontrei esta reportagem da Veja, que  nos dar dados muito interessantes e que contribuirá muito para termos uma vida longeva e saudável.

Sem tempo para estudar

Aluno é uma pessoa espetacular. Criativo, inteligente e normalmente sempre tem uma resposta na "ponta da língua". Pois veja se não tenho razão. Certa vez, cobrei de um aluno a falta de costume do estudo diário.

Disse a ele:

- Tens o dia todo para estudar e dizes que não tem tempo. Isto não é resposta para a tua "vagabundagem".

Ele então argumentou, com cara de conhecimento de causa:

- Caro professor, raciocine comigo: no ano temos 365 dias. Dorme-se pelo menos 8 h/dia, o que equivale, aproximadamente, a 1/3 do ano. Isto quer dizer que 365 dias menos 122 dias (1/3 do ano, mais ou menos) resulta em 243 dias. Existem 52 sábados e 52 domingos. Calculando, temos 243 - 104 = 139 dias. Como temos 2 meses (60 dias) de férias: 139 - 60 = 79 dias. Vamos considerar 2 horas para almoço e 2 horas p/ jantar. Somando temos 60 dias. Fazendo 79 - 60 = 19 dias. Com os feriados 19 - 19 = 0 dias.

O aluno, todo confiante, concluiu:

- Não tenho razão para falta de tempo no estudo.

Desafio

Um número escrito em uma cartela tem dois algarismos cuja soma é 10. Trocando os algarismos de lugar, o novo número será 18 unidades menor que o número que está na cartela.

Qual é o número da cartela?

Você Sabia?

No século XI os alemães chamavam o elemento desconhecido (a icógnita) de "coisa". Seria algo parecido com isto: "O dobro da coisa mais um é igual a 9. Qual é o valor da coisa?
dobro da coisa + 1 = 9
dobro da coisa = 8
coisa = 8 : 2
coisa = 4

O profissional das ciências atuariais

Na hora de elaborar planos de seguro, de saúde, de previdência complementar e títulos de capitalização, uma das atividades do atuário ou profissional de ciências atuariais é analisar os riscos envolvidos nas operações, o que depende de conhecimentos aprofundados sobre conceitos de probabilidade.

No caso de um seguro de automóvel, por exemplo: ao avaliar os valores a serem cobrados do segurado e pagos em caso de acidente ou roubo, o atuário tem de calcular as probabilidades de uma colisão, de o motorista machucar alguém ou a si mesmo e de o carro ser furtado, dentro do período de cobertura da apólice.

Ele deve sistematizar as estimativas disponíveis sobre batidas, roubos, ferimentos e mortes no trânsito. Só depois de calcular e tabular tudo isso é possível definir o prêmio de cada apólice e o valor das mensalidades com que o segurado deve arcar.

O atuário é o responsável, ainda, por estimar as reservas financeiras que a empresa seguradora deve manter de modo a garantir o pagamento dos benefícios e o cumprimento dos compromissos contratados.

Quem ganhará a Copa do Mundo de 2010?

A campeã será a Alemanha (para minha tristeza), não acredita?

Como estamos todos no clima da copa do mundo, onde todos dão seus palpites de quem será o campeão desta copa, e lógico eu não ficaria de fora.

Você pode pensar que estou realizando um chute, dando meus palpites sem nenhum critério, mas não é não. Para provar a minha certeza, vou postar uma curiosidade interessante, uma coincidência de números que nos leva a seguinte a conclusão de que a Alemanha será a seleção campeã desta competição.

Está curioso para saber qual coincidência de números leva a este resultado. Veja abaixo:

O Brasil ganhou a copa do mundo em 1994. Antes disso, sua última conquista do título foi em 1970. Se você somar, 1970 + 1994 = 3964.

A Argentina ganhou a copa do mundo em 1986, antes em 1978. Somando, 1978 + 1986 = 3964.

Já a Alemanha ganhou a copa em 1990. Antes disso, foi em 1974. Somando 1990 + 1974 = 3964.

O Brasil ganhou a copa do mundo de 2002, e também foi o vencedor da copa de 1962. Conferindo: 1962 + 2002 = 3964.

Seguindo essa lógica, o ganhador da Copa de 2010 será o mesmo que em 1954. Somando: 1954 + 2010 = 3964.

E a Copa do Mundo em 1954 foi vencida pela Alemanha.

Um caso de amor

Lilavati é o nome de um livro escrito pelo famoso matemático indiano Baskara. Essa obra trata de vários temas de matemática e propõe diversas situações-problemas.

Agora, vou reproduzir um dos problemas que estão no Lilavati, tente resolvê-lo.

"partiu-se um colar durante um jogo amoroso. Um terço das pérolas caiu no chão, um quinto ficou no leito, um sexto foi encontrado pela mulher e um sexto foi achado pelo homem; seis pérolas ficaram no fio. Diz-me: de quantas pérolas se compunha o colar?"

 

Boa resolução!

O Calculo da Cerveja

Recentemente recebi este calculo enigmático, conhecido nos botequim, como matemática da cerveja. Vamos fazer os cálculos que é muito simples.

1. Para iniciar, escolha o número de vezes que gostaria de ir tomar uma cerveja, nas opções de 1 a 10 (números baixos para não complicar os caçulos. hehe);
   
2. Multiplique o número por 2;
   
3. Adicione 5;
   
4. Multiplique por 50;
   
5. Se você já tiver feito aniversario esse ano, some 1760. Se não tiver feito, some 1759;
   
6. Agora subtraia desse número o ano em que você nasceu (com os quatros dígitos);
   

Você agora deve ter um número de três dígitos. O primeiro digito foi o número que você escolheu. E os próximos dois números são a sua idade.

Agora tem mais um motivo para chamar os amigos para beber uma cerveja e brincar com seus conhecimentos de matemática. Mas beba com moderação!

Paradoxo

No post anterior lembramos dos Paradoxos de Zenão, mas faltou uma introdução etimológica e os significados desta palavra.

A etimologia da palavra paradoxo pode ser traçada a textos que remontam à aurora da Renascença. As primeiras formas da palavra tiveram por base a palavra latina paradoxum - para (contrário, oposto de, ir de encontro) + doxum (opinião). Mas também são encontradas em textos em gregos como paradoxon - pará (junto de) + doxa (opinião). Parádoxon implica literalmente um conceito contrário ao senso comum.

Conceito do que é ou parece contrário ao comum; contra-senso, absurdo, disparate. Um paradoxo é uma declaração aparentemente verdadeira que leva a uma contradição lógica, ou a uma situação que contradiz a intuição comum. Em termos simples, um paradoxo é "o oposto do que alguém pensa ser a verdade".

Paradoxo que decorre da definição de implicação material pela qual uma proposição falsa implica proposições verdadeiras ou proposições falsas e proposições verdadeiras podem ser implicadas por proposições verdadeiras ou proposições falsas.

Deve ser notado que muitos paradoxos dependem de uma suposição essencial: que a linguagem (falada, visual ou matemática) modela de forma acurada a realidade que descreve. A identificação de um paradoxo baseado em conceitos aparentemente simples e racionais tem, por vezes, auxiliado significativamente o progresso da ciência, filosofia e matemática.

Paradoxos de Zenão

    Com certeza você já ouviu falar nos paradoxos de Zenão, também conhecidos como as
aporias de Zenão. Mas afinal, o que são esses paradoxos? São argumentos utilizados para provar a falta de razão dos conceitos de multiplicidade e divisibilidade. Através de um método dialético que antecipou Sócrates, Zenão ( partia das premissas de seus oponentes, reduzindo-as ao absurdo e com isso sustenta o ponto de fé dos Eleáticos (escola filosófica da qual fazia parte), que ia contra as idéias Pitagórica. São 4 os paradoxos formulados por Zenão.

    Podemos ilustrar com um exemplo interessante, de uma história grega: Aquiles, o herói grego, e uma tartaruga decidem apostar uma corrida de 100m. Como a velocidade de Aquiles é 10 vezes a da tartaruga, esta recebe a vantagem de começar a corrida 80m na frente da linha de largada.

No intervalo de tempo em que Aquiles percorre os 80m que o separam da tartaruga, esta percorre 8m e continua na frente de Aquiles. No intervalo de tempo em que ele percorre mais 8m, a tartaruga já anda mais 0,8m; ele anda esses 0,8m, e a tartaruga terá andando mais 0,08 metros. Esse raciocínio segue assim sucessivamente, levando á conclusão de que Aquiles jamais poderá ultrapassar a tartaruga, uma vez que sempre que ele se aproximar dela, ela já terá andado mais um pouco. Em termos matemáticos, seria dizer que o limite, com o espaço entre a tartaruga e Aquiles tenderá a 0. Ele virtualmente alcança a tartaruga, mas nessa linha de raciocínio, não importa quanto tempo se passe, Aquiles nunca alcançará a tartaruga nem, portanto, poderá ultrapassá-la.

Zenão sabia que Aquiles poderia ultrapassar a tartaruga. Pretendia simplesmente demonstrar as consequências paradoxais de encarar o tempo e o espaço como constituídos por uma sucessão infinita de pontos e instantes individuais consecutivos.

    Vale destacar que com isso, Zenão foi um dos que usaram pela primeira vez na História o emprega do raciocínio por absurdo.

Gelosia

    No tempo em que o ser humano ainda não havia inventado máquinas de calcular como, por exemplo, uma calculadora simples, pessoas que utilizavam muitos cálculos haviam criado processos para obter o resultado de uma operação. Foi o caso da multiplicação e da divisão.

    Na Europa medieval, a partir do séc. XIII, com a introdução progressiva do sistema de numeração indo-árabico e o abandono dos numerai romanos expandem-se os processos de efetuar operações escritas em papel. Um desses processos é o método da gelosia ou multiplicação árabe.

    Imagina-se que ele teve origem na Índia, tendo sido transmitido para o ocidente pelos comerciantes árabes. Este método utilizava-se para efetuar multiplicações de números com mais de dois dígitos. Este método utiliza uma tabela com filas horizontais e oblíquas que não são mais do que a tabuada da multiplicação. Veja:

Apresentamos a seguir um exemplo ilustrativo de como se procede com o método de gelosia. Vamos calcular 45 x 37:

• Como se vê, selecionamos as tiras desejadas;
  
• O resultado obtém-se somando os valores das colunas oblíquas, da direita para a esquerda;
  

Continuando o processo, se realiza a multiplicação dos números, por exemplo, 4 x 3, e colocamos o resultado dentro do quadrado dividido por uma linha diagonal, como veremos abaixo na foto:

• A primeira coluna obliqua tem apenas um valor, que é 5. Este será o algarismo da unidade;
  
• 
  
  Na segunda coluna oblíqua temos 8, 3, 5 que somados resulta em 16. O algarismo 6 será o das dezenas enquanto que o algarismo 1 irá ser adicionado ao resultado da coluna oblíqua seguinte (igual ao nosso método de adição onde utilizamos a linguagem do "vai um" ou "sobe um");
• Na terceita coluna oblíqua adiciona-se os algarismo 2, 2, 1 com o 1 que "vem" da coluna anterior e obtemos 6, sendo este o algarismo das centenas;
  
• A quarta coluna tem somente o número 1, que é o algarismo dos milhares.
  

Juntando os resultados das etapas acima, temos o resultado 1.665, como está na foto acima.

E aí, o que achou deste método de calcular? É fácil? Dê sua opinião.