Pensamentos

A questão primordial não é o que sabemos, mas como o sabemos.

Aristóteles

Um pouco da história das Potências

Como sabemos, as potências são uma forma mais simples de representar quantidades muito grandes, ou seja, abreviação da multiplicação de número igual (repetido).

Esse método de representação surgiu no século II a. C. Tudo começou quando quiseram responder à seguinte pergunta: quantos grãos de areia existem no Universo? Na época achava-se que o Universo era uma esfera limitada pelas estrelas fixas e que conseguiriam calcular o volume dessa esfera respondendo tal pergunta. Usando então a forma simples que inventaram, conseguiram representar a quantidade astronômica que, segundo seus cálculos, respondia à questão: 10⁵¹ grãos. O responsável por este foi o grego Arquimedes, que naquela época chamava de os expoentes de miríades.

Mas a notação moderna surgiu com o livro Géometrie (1637) de
René Descartes
(1596-1650). Ali escreveu: "aa ou a² para multiplicar a por si mesmo e aᶟ 3 para multiplicar ainda mais uma vez por a e deste modo até ao infinito, que com o passar dos anos foi se desenvolvendo até a atingir a sua forma moderna.

A sequência de Fibonacci e a criação de coelhos

No século XIII, o matemático Leonardo de Pisa (1180-1250), cujo apelido era Fibonacci, visitou uma fazenda onde havia uma criação de coelhos e pôs-se a refletir sobre a reprodução rápida desses animais.

Supondo que cada casal gere um novo casal depois de dois meses e que a partir daí gere um casal todo mês, fica formada uma sequência especial com números naturais. Imaginando que os coelhos tivessem vida eterna, a seqüência seria infinita.

Essa seqüência, que casa termo nos dá o número de casais de coelhos, é a seqüência Fibonacci.

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, ...)

Observe que obtemos um termo qualquer dessa seqüência, a partir do 3º, somando os dois termos imediatamente anteriores a ele. Por exemplo, 3 = 2 + 1; 34 = 21 + 13, etc.

Além disso, a partir do 5º termo a razão entre cada termo e seu precedente está sempre próxima de 1,6 (valor aproximado do número de ouro, assunto já visto aqui antes): 5/3=1,666....; 8/5 = 1,6; 13/8 = 1,625; e assim por diante.

As equações algébricas

    A palavra álgebra tem origem na palavra al-jabr, que aparece no título do livro escrito pelo famoso matemático árebe Al-Khowarizmi: "livro sobre as operações al-jabr e qabalah".

    O termo al-jabr significa restauração e refere-se à transposição de termos para outro lado da equação. Veja um exemplo de trasnposição:

    2x + 4 = x – 3

    2x – x = – 3 – 4

    O termo qabalah significa redução ou equilíbrio e refere-se à redução de termos semelhantes nos dois lados da equação:

    2x – x = – 3 – 4

    X = – 7

    As equações eram resolvidas por Al-Khowarizmi de modo semelhante ao que usamos hoje em dia, porém tudo era expresso com palavras.

    O primeiro matemático a escrever equações usando letras e sinais foi François Viète, chamado "Pai da Álgebra".

    Viète também foi o primeiro a estudar as propriedades da equações através de expressões gerais como ax + b = 0. Graças a Viète os objetos de estudo da matemática deixaram de ser somente problemas numéricos sobre preços das coisas, idade das pessoas ou medidas dos lados das figuras, e passaram a englobar também as próprias expressões algébricas.

    A partir desse momento, as equações começaram a ser interpretadas como entendemos atualmente: equação, o idioma da álgebra.

François Viète

Desafio Matemático - V

Um país tem eleições para presidente de 4 em 4 anos e para senador de 6 em 6 anos. Em 1987 houve eleição para presidente e em 1988 para senador. As duas eleições poderão cair alguma vez no mesmo ano? Porque?

A quadratura do circulo

Você sabia que há mais de 3500 anos os egípcios tentaram encontrar uma maneira de desenhar, com régua e compasso, uma região quadrada que tivesse a mesma área que a de um círculo dado?

Eles tentavam construir uma região quadrada de lado l tal que l² = πr².

Esse desafio, chamado "quadratura do círculo", foi um dos mais famosos problemas clássicos da Antiguidade. Por volta de 1800 a. c. Os egípcios acreditavam que já tinham "resolvido" o problema.

Somente no século XIX, mais de 2000 anos depois de esse problema ser proposto, o matemático alemão Ferdinand Von Lindemann, em 1882, provou que é impossível construir, com régua e compasso, uma região quadrada com área exatamente igual à de um círculo dado. Isso não significa que a região quadrada proposta não exista. Ela existe, mas não pode ser construída usando apenas régua e compasso, como foi apresentado pelos geômetras da Antiguidade.

Fonte: Introdução a história da matemática. Howard Eves.

Pantógrafo

Atualmente, com a infinidade de recursos de informática, ampliar, reduzir, reproduzir, rotacionar, inverter e deformar imagens são operações fáceis, mesmo para aqueles sem talento para o desenho. Mas, antes dos avanços tecnológicos, muitas dessas transformações eram feitas com sistema articulados desenvolvidos para fins específicos.

Um exemplo desses sistema é o pantógrafo (panto = tudo + grafo = escrever). O modelo simples é constituído por quatro réguas articuladas e fixadas entre si. Duas réguas estão por baixo e as restantes são colocadas sobre as outras duas.

A origem do pantógrafo é incerta, mas há registros de que já era utilizado, por alguns povos, há mais de 2000 anos. Ainda hoje o pantógrafo é usado em diversas áreas: na Geografia possibilita confeccionar mapas; na engenharia facilita a confecção de plantas de construções; na serralheria serve para cortar chapas metálicas; em ourivesaria é empregado para fazer gravações em alianças, anéis, medalhas, etc.

Misticismo pitagórico - Significado dos Números

O ensino idealístico de Pitágoras, que atraia multidões ansiosas por ouvi-lo, poderia justificar a preocupação de filósofo de atribuir aos números e às figuras qualidades morais.

O um – tido mais por origem de todos os outros números que por número propriamente – representava a razão; o dois, a opinião; o quatro, a justiça; o cinco, o matrimônio (pois é constituído da adição de 3, o primeiro número macho, e de 2, o primeiro número fêmea).

Nas propriedades do cinco residia o segredo da cor; nas do seis, o segredo do frio; nas do sete, o segredo da saúde; nas do oito, o segredo do amor. O sólido de seis face (cubo) encerrava o segredo da Terra.

A pirâmide, o segredo do céus. A esfera era a figura mais perfeita.

Malba Tahan, Antologia da Matemática, v 1.

Desafio Matemático - IV

Pense e responda: As promoções do tipo leve 3 e pague 2, comuns no comércio, acenam para um desconto, sobre cada unidade vendida de:

a) 50/3%

b) 20%

c) 25%

c) 30%

e) 100/3%

O Quadrivium

Os pitagóricos dividiam os assuntos matemáticos em quatros seções: os números absolutos ou a Aritmética; os números aplicados ou a Musica; as grandezas no estado de repouso ou a Geometria e as grandezas em movimento ou a Astronomia.

Esse quadrivium (do latim quatro e vía: caminho, ou seja os "quatro caminhos") era o nome dado ao conjunto de quatro matérias: Aritmética, Música, Geometria e Astronomia.

Foi durante muito tempo considerado o curso mínimo para uma instrução liberal, visando ao desenvolvimento das faculdades intelectuais, estéticas e morais.

Adaptado de Malba Tahan, Antologia da Matemática, v 1.